Qué es un efecto aleatorio, explicado sin fórmulas

Llevas dos semanas leyendo sobre modelos mixtos y sigues sin poder contestar a la única pregunta que te bloquea: qué va como aleatorio en tu modelo. Los manuales lo definen con matrices, el revisor te pide «al menos un intercepto aleatorio de participante» sin decir por qué, y el ejemplo del tutorial siempre es el mismo conjunto de datos de gente privada de sueño. Aquí no hay ni una matriz. Vas a salir sabiendo qué separa un efecto fijo de uno aleatorio, cómo se ve cada uno en un estudio de salud real, qué diferencia hay entre intercepto y pendiente, y con qué criterio decides si tu diseño pide uno.

Tus datos casi nunca vienen sueltos

Todo lo que aprendiste primero —la t, la ANOVA, la regresión— descansa en un supuesto que cabe en una línea: cada observación aporta información nueva, independiente de las demás. En un estudio de salud eso casi nunca es cierto. Reclutas en seis hospitales. Mides a la misma persona cuatro veces. Pasas la escala a las aulas enteras porque el colegio no te deja sacar alumnos de clase de uno en uno. En los tres casos tus datos vienen en cajas, y dentro de cada caja las observaciones se parecen.

Dos pacientes del mismo hospital comparten protocolo, plantilla, lista de espera y tipo de barrio. Dos medidas de la misma persona comparten la persona entera: su historia, su forma de responder a los cuestionarios, su tendencia a marcar los extremos. Dos alumnos del mismo aula comparten profesora, horario y compañeros. Ese parecido tiene nombre y número: el coeficiente de correlación intraclase, ICC, la proporción de la variación total que vive entre cajas en lugar de dentro de ellas.

Cuando ignoras las cajas, el modelo cree que tienes más información independiente de la que tienes de verdad. Los errores típicos salen pequeños, los intervalos estrechos y las p, generosas. No es un matiz de tercer decimal: con 40 pacientes por hospital y un ICC de solo .05, la información efectiva de tu muestra se queda en un tercio, así que 800 pacientes rinden como si fueran 271. Un contraste que sale a p = .01 tratándolos como independientes puede quedarse en nada al contar bien. Esa dirección —errores típicos demasiado pequeños— es la de lo que se compara entre cajas, que suele ser justo lo que te interesa: el brazo de tratamiento, el tipo de centro. Para un predictor que varía dentro de la caja el sesgo puede ir al revés; el problema de fondo es el mismo, que el modelo no sabe de dónde viene cada fila.

Un efecto aleatorio es la herramienta con la que le cuentas al modelo dónde están esas cajas. No es un parche estadístico ni un capricho del revisor: es parte de la descripción de cómo recogiste los datos, igual que lo es el diseño. Y como pasa con el resto de supuestos, sale mucho más barato decidirlo cuando planificas que cuando ya tienes el manuscrito escrito y alguien pregunta.

Fijo o aleatorio: la pregunta que lo decide

Olvida las definiciones que has leído. La pregunta operativa es esta: los niveles que tienes en la tabla, ¿son los que te interesan o son una muestra de una familia más grande? Tratamiento y control son los que te interesan: si repitieras el estudio, volverías a tener tratamiento y control. Los seis hospitales, no: si repitieras el estudio en otra comunidad autónoma serían otros seis, y lo que quieres que se sostenga es la conclusión sobre hospitales en general, no sobre esos seis. Los primeros van como efecto fijo; los segundos, como aleatorio.

Lo que devuelve cada uno también es distinto. Un efecto fijo te da un número por nivel y ese número es el resultado: la diferencia entre grupos, la pendiente de la edad, el coeficiente que defiendes en la discusión. Un efecto aleatorio te da una desviación típica: cuánto se separan los hospitales entre sí una vez descontado todo lo demás. Es un resultado de otra naturaleza, y por eso no se lee como un coeficiente ni se comenta como «significativo». Se puede contrastar —más abajo está la letra pequeña—, pero no es el contraste lo que le da valor.

Si el vocabulario te trae confundido, no es culpa tuya. Gelman (2005) recopiló cinco definiciones de «fijo» y «aleatorio» que circulan a la vez por la literatura y que se contradicen entre ellas; en econometría, además, «efectos fijos» significa casi lo contrario de lo que significa aquí. Por eso conviene decidir con la pregunta de arriba —¿me interesa este nivel concreto o la variación entre niveles?— y no con la etiqueta que use el manual que tengas abierto.

Hay una restricción práctica que las definiciones no mencionan: para estimar cuánto se dispersan los grupos hace falta tener grupos. Con tres o cuatro no se puede, igual que no se estima una desviación típica decente con cuatro personas. Las convenciones que circulan van del «30 grupos de 30» de Kreft (1996) al hallazgo de Maas y Hox (2005) de que por debajo de unos 50 grupos los errores típicos de la varianza de segundo nivel se quedan cortos. Ninguna es una ley; son reglas de andar por casa. Donde sí coincide casi todo el mundo es en el suelo: con menos de cinco grupos, ese factor va como fijo o no va.

Tres estructuras de salud que ves todas las semanas

Pacientes dentro de hospitales. Es el caso de manual. Reclutas en varios centros, el centro va como aleatorio y el tratamiento, que es lo que te interesa, va como fijo. Cuidado con una trampa frecuente: si la intervención se asigna por centro entero —todo el hospital A hace el programa y todo el B sigue con el tratamiento habitual—, tu potencia la marca el número de hospitales, no el de pacientes. Cincuenta pacientes más en el mismo centro añaden mucha menos información de la que parece.

Medidas dentro de pacientes. Aquí la caja es la persona. Cuatro medidas (basal, post, 3 meses, 12 meses) de 90 pacientes no son 360 datos independientes: son 90 personas medidas cuatro veces. El participante va como aleatorio y el momento, como fijo. Es el mismo territorio que cubre la ANOVA de medidas repetidas, con dos ventajas que en clínica pesan mucho: el modelo mixto aguanta los datos perdidos y los momentos desiguales sin tirar al paciente entero. La comparación completa está en modelos mixtos frente a ANOVA de medidas repetidas.

Alumnos dentro de aulas dentro de colegios. Tres niveles, y aquí el agrupamiento no es una corrección cosmética: en rendimiento académico los valores publicados para el nivel de centro suelen moverse entre .10 y .25 (Hedges y Hedberg, 2007). Con esos números, ignorar el aula no te cambia el tercer decimal, te cambia la conclusión. Lo mismo pasa en los estudios escolares de bienestar o de acoso, que se reclutan por aulas por pura logística.

El caso que se cuela sin que nadie lo vea: el cruzado. Si veinte terapeutas atienden a pacientes de los dos brazos, el terapeuta no está anidado en el brazo, lo cruza. Y si en un experimento presentas 30 caras o 40 viñetas clínicas a cada participante, los estímulos también son una muestra de una familia más grande. Judd, Westfall y Kenny (2012) mostraron que tratarlos como fijos infla la tasa de falsos positivos muy por encima del 5% nominal, y es un error que lleva décadas publicándose en psicología experimental.

Intercepto aleatorio: cada grupo arranca en un sitio distinto

Imagina la nube de puntos de tu estudio con una recta dibujada dentro de cada hospital. Un intercepto aleatorio dice que esas rectas son paralelas pero están a distinta altura: el hospital comarcal entra con pacientes más graves, el universitario con menos comorbilidad, el privado con menos lista de espera. El modelo no te pide que expliques por qué. Le dices que la altura de partida cambia de un centro a otro y él estima cuánto.

Lo que sale de ahí es un número: la desviación típica entre centros. Si tu variable es una escala de depresión de 0 a 63 y la DT entre hospitales es 3.2, lo que estás diciendo es que unos dos tercios de los centros caben en una banda de unos seis puntos y medio de ancho —la media ±1 DT— antes de contar nada de lo que pasa dentro de cada uno. Compara esa desviación con la residual, la de los pacientes dentro del mismo centro, y tienes el ICC: la parte del total que se lleva el hecho de estar en un sitio o en otro.

Sí, puedes ver el número de cada hospital por separado, pero no son medias crudas. El modelo las encoge hacia la media general en proporción a lo poco que sabe de cada uno: un centro con 6 pacientes se queda pegado a la media general, uno con 300 se queda casi donde lo dejaron sus datos. Ese encogimiento no es un truco de suavizado, es lo que impide que el centro con seis pacientes y dos casos afortunados aparezca como el mejor hospital del estudio.

Con el intercepto aleatorio a secas estás asumiendo algo concreto: que el efecto que te interesa —el tratamiento, el paso del tiempo, la edad— tiene exactamente el mismo tamaño en todos los grupos, y que lo único que cambia entre ellos es el punto de partida. A veces es defendible y basta. Cuando no lo es, hace falta la pendiente.

Pendiente aleatoria: el efecto no es igual en todos los grupos

Vuelve a las rectas. Una pendiente aleatoria las despeina: dejan de ser paralelas. Dice que el tratamiento funciona mejor en unos centros que en otros, o que unos pacientes mejoran más deprisa que otros a lo largo del seguimiento. Sigues sin estimar el efecto de cada centro por separado como si fuera tu resultado; lo que estimas es cuánto varía ese efecto de un centro a otro, que es una pregunta clínica muy distinta y a menudo más interesante.

No todo puede llevar pendiente aleatoria, y la regla es mecánica. Solo la puede llevar una variable que varíe dentro de los grupos. El tiempo de seguimiento varía dentro de cada paciente, así que la pendiente del tiempo por paciente es posible. El tipo de hospital, público o privado, no varía dentro del hospital: por definición no hay dos valores dentro de la misma caja, así que esa recta no tiene por dónde inclinarse. Cuando el programa se queja de un modelo imposible, muchas veces es esto.

Omitir una pendiente aleatoria que sí está en los datos tiene consecuencia y tiene dirección: los errores típicos del efecto fijo correspondiente salen demasiado pequeños y su p, demasiado optimista (Schielzeth y Forstmeier, 2009). Barr, Levy, Scheepers y Tily (2013) llevaron el argumento al extremo con su «keep it maximal»: mete toda la estructura aleatoria que el diseño justifique. Matuschek et al. (2017) matizaron después que con muestras pequeñas la estructura máxima te deja sin potencia y sin convergencia. Entre las dos posturas cabe la práctica sensata: pon las pendientes que el diseño justifica, recorta solo lo que los datos no puedan sostener y escribe en el método qué recortaste y por qué.

El modelo estima también la correlación entre intercepto y pendiente, es decir, si los centros que arrancan peor son los que más mejoran. Eso es información clínica de verdad, no un parámetro decorativo. Y es lo primero que se rompe cuando el número de grupos se queda corto: si te sale una correlación de exactamente 1.00 o −1.00, el modelo te está avisando de que no tiene datos para estimarla, no te está descubriendo una ley.

Cómo saber si lo necesitas

Empieza sin abrir el programa. Escribe en un papel qué está dentro de qué. Cada vez que una unidad aporte más de una fila a tu tabla —una persona medida dos veces, un aula con veinte alumnos, un terapeuta con nueve pacientes, un hospital con cuarenta— tienes un candidato a efecto aleatorio. Si al terminar el dibujo no hay ninguna agrupación, no necesitas un modelo mixto, y meterlo por si acaso solo te va a costar avisos de convergencia.

El segundo paso sí es cuantitativo, y es el único cálculo de todo el artículo. Ajusta el modelo vacío —la agrupación y nada más, sin predictores— y mira el ICC. Con eso y el tamaño medio de grupo sale el efecto de diseño: 1 + (n − 1) × ICC. Es el número por el que hay que dividir tu muestra para saber cuánta información independiente tienes de verdad. Con 25 pacientes por centro y un ICC de .04 sale 1.96, o sea la mitad de tu muestra. Puedes sacar el ICC con la calculadora de ICC —trabaja con el mismo cociente de varianzas que se usa para el acuerdo entre jueces: la parte del total que se lleva el agrupamiento— y ver cómo se reporta en APA 7.

Vas a leer que la decisión se toma con una prueba de razón de verosimilitud comparando el modelo con y sin el efecto aleatorio. Úsala si quieres, sabiendo dos cosas. La primera, que la hipótesis nula cae en el borde del espacio de parámetros, porque una varianza no puede ser negativa, y por eso la p habitual sale conservadora (Stram y Lee, 1994). La segunda, más importante: un ICC pequeño no autoriza a ignorar la agrupación cuando los grupos son grandes. Con 200 pacientes por centro, un ICC de .01 da un efecto de diseño de 2.99. La agrupación es un hecho de tu diseño y no desaparece porque un contraste no llegue a .05.

La versión corta, para casi todo lo que te vas a encontrar. Si el mismo participante aporta varias filas, el participante va como aleatorio y eso no se discute. Si reclutaste en cinco centros o más, el centro también. Si son dos o tres, mételos como fijos y dilo. Y si el reclutamiento fue por conglomerados —el aula entera, la unidad entera, el cupo entero del médico de familia—, el agrupamiento se declara aunque el ICC salga bajo, porque lo impuso el diseño y no los datos.

Lo que se rompe si lo ignoras, y lo que se rompe si te pasas

Ignorar la agrupación produce falsos positivos, y ese es el error del que se queja el revisor. Produce otro más silencioso: confundir el nivel al que ocurre la relación. Que los hospitales con más sesiones por paciente tengan mejores resultados no implica que un paciente concreto que reciba más sesiones vaya a mejorar más. Son dos preguntas en dos niveles distintos y un modelo que no los separa las mezcla en un solo coeficiente que no responde ni a una ni a otra. Separarlas se hace centrando la variable dentro de cada grupo, y es de las cosas que más devuelven por lo poco que cuestan.

Pasarse tiene su propio catálogo de averías, y todas hablan el mismo idioma. El modelo no converge. La varianza de un componente se estima en cero. Salta el aviso de ajuste singular. Las correlaciones entre efectos aleatorios se van a ±1. Casi siempre significan lo mismo: le has pedido a los datos más estructura de la que pueden sostener. La salida no es cambiar de optimizador hasta que el programa deje de quejarse, es recortar la estructura, quedarte con la que el diseño exige y contarlo en el método.

Cuando escribas, describe la estructura aleatoria en una frase que otro pueda replicar: qué está anidado en qué, qué lleva intercepto, qué lleva pendiente y qué quitaste por convergencia. En resultados, la desviación típica de cada componente y el ICC. Y ojo con el R²: en un modelo mixto hay dos, el marginal (lo que explican los efectos fijos) y el condicional (fijos más aleatorios). Responden a preguntas distintas, así que lo que no es opcional es decir cuál de los dos estás dando (Nakagawa y Schielzeth, 2013).

Si quien ha traído la palabra «aleatorio» a tu vida es un revisor, su comentario suele traducirse en una de dos cosas: o vio que tus observaciones vienen agrupadas y tus errores típicos no se han enterado, o vio que presentas un efecto medio en centros que a ojo se comportan distinto. Merece la pena contestar a la preocupación de debajo y no solo añadir un término al modelo; cuando el revisor pide un análisis que no dominas, entender qué le inquieta vale más que la sintaxis.

Preguntas frecuentes

¿Cuántos grupos hacen falta para meter un efecto aleatorio?

No hay un mínimo legal, pero sí un suelo práctico: con menos de cinco grupos la varianza entre grupos sale disparatada y más vale meter el factor como fijo. Las referencias que se citan van del «30 grupos de 30» de Kreft (1996) al trabajo de Maas y Hox (2005), que encontró errores típicos sesgados a la baja en la varianza de segundo nivel por debajo de unos 50 grupos. Con pocos conglomerados hay salidas: correcciones de grados de libertad tipo Kenward-Roger, errores típicos robustos o estimación bayesiana con priores razonables (McNeish y Stapleton, 2016). Lo que no vale es estimar una varianza con cuatro puntos y reportarla como si nada.

¿Puedo meter el hospital como efecto fijo con variables dummy?

Puedes, y con dos o tres centros es lo correcto. Cambian dos cosas. Gastas un parámetro por centro menos uno, lo que con veinte centros es caro. Y tus conclusiones se quedan en esos centros concretos: no estás generalizando a «los hospitales», estás describiendo los tuyos. Hay una consecuencia adicional que pilla a mucha gente: si te interesa una variable que solo varía entre centros (el tamaño del hospital, si es universitario), con el centro como fijo no la puedes estimar, porque queda absorbida por las dummies.

¿Cómo sé si necesito pendiente aleatoria o me basta con el intercepto?

Primero por el diseño: si un predictor varía dentro de los grupos y tienes alguna razón para pensar que su efecto no es idéntico en todos, la pendiente está justificada y se pone. Después por los datos: ajusta con y sin, mira si la desviación típica de la pendiente es apreciable comparada con el propio efecto fijo (una DT de la pendiente parecida al efecto medio significa que en algunos grupos el efecto se queda en nada o cambia de signo) y comprueba si el modelo aguanta. Si no converge o la varianza se va a cero, recortas y lo escribes.

¿Es lo mismo un efecto aleatorio que un modelo mixto?

Un modelo mixto es el que mezcla los dos tipos: al menos un efecto fijo y al menos uno aleatorio. El efecto aleatorio es la pieza; el modelo mixto, el aparato entero. Los nombres cambian según la tribu que lo cuente —multinivel, jerárquico, de efectos mixtos, de coeficientes aleatorios— pero la cocina es la misma. Si alguien te dice «hazlo multinivel» y otro te dice «mete un efecto aleatorio de centro», te están pidiendo lo mismo.

Mi modelo no converge o me sale la varianza en cero, ¿qué hago?

Casi siempre es exceso de estructura, no un problema de software. Ve por orden: quita primero las correlaciones entre efectos aleatorios, luego las pendientes menos justificadas y deja el intercepto para el final. Comprueba que la variable de agrupamiento tiene suficientes niveles y que las pendientes que has puesto corresponden a predictores que de verdad varían dentro de los grupos. Centra y escala los predictores continuos, que resuelve más avisos de los que parece. Cambiar de optimizador hasta que deje de quejarse es lo último y lo peor: el aviso decía algo.

¿Es lo mismo que el modelo de efectos aleatorios de un metaanálisis?

Es la misma idea con otra ropa. En un metaanálisis de efectos aleatorios el estudio hace de grupo: en vez de asumir que todos estiman un único efecto verdadero, asumes que el efecto verdadero varía de un estudio a otro y estimas cuánto varía. No te interesa el número de cada estudio por sí mismo, te interesa la dispersión, exactamente igual que con los hospitales. Que la lógica sea la misma explica por qué al metaanálisis con varios efectos por estudio se le llama, sin metáfora, multinivel.

Quédate con la pregunta que resuelve casi todos los casos: los niveles que tengo, ¿son los que me interesan o son una muestra de una familia más grande? Lo primero va fijo, lo segundo va aleatorio. El intercepto dice dónde arranca cada grupo, la pendiente dice si el efecto cambia de un grupo a otro, y el ICC te dice si esto era importante en tus datos o no. Si quieres el desarrollo completo, con los tres niveles y la sintaxis, sigue por la guía de modelos multinivel.