Shapiro-Wilk te sale significativo y los datos parecen normales

Abres la salida, miras el histograma y ves una campana. Miras el Q-Q y los puntos van sobre la línea, con la levísima curva del final que tiene cualquier variable de este mundo. Y justo debajo, en la tabla de normalidad, hay un p = .003 diciendo que tus datos no son normales. A partir de ahí la reacción suele ser una de dos: tirar a la basura la t que tenías planeada y pasarte a Mann-Whitney sin saber muy bien qué estás contrastando ahora, o meterle un logaritmo a la variable y esperar que nadie pregunte. Las dos salidas hacen más daño que el problema que intentan resolver. Lo que sigue es por qué el contraste dice eso, cómo se decide de verdad si la desviación te afecta, y qué frase escribir para que no te lo discutan.

Shapiro-Wilk no contesta la pregunta que tú tienes

La hipótesis nula del contraste de Shapiro y Wilk (1965) es que tu muestra procede de una población exactamente normal. No «razonablemente normal», no «lo bastante normal para una t»: normal, la curva de Gauss con sus dos parámetros y sus colas infinitas. Cuando el contraste sale significativo lo que estás leyendo es «con estos datos puedo descartar la normalidad exacta», y nada más. Es una afirmación sobre lo que tu muestra permite descartar, no sobre cuánto se aleja tu variable de la campana.

El problema es que esa hipótesis nula es falsa antes de que recojas el primer dato. Micceri (1989) revisó 440 conjuntos de datos psicométricos y de rendimiento reales y no encontró ninguno que se ajustara a la normal; el título del artículo llama al asunto por su nombre y compara la curva normal con un unicornio. Y tiene sentido: las puntuaciones de una escala Likert son discretas y acotadas, los tiempos de reacción no pueden ser negativos, un cuestionario de sintomatología en población general tiene suelo, y uno de bienestar tiene techo. Ninguna variable de psicología es exactamente normal, así que cualquier contraste de normalidad terminará rechazando si le das muestra suficiente.

De ahí sale la mecánica que explica el p = .003 de tu pantalla. Como cualquier prueba de significación, la de Shapiro-Wilk mezcla dos cosas en un solo número: cuánto se aparta la muestra del modelo y a cuánta gente has medido. Un apartamiento minúsculo con mucha gente y uno enorme con poca gente pueden dar el mismo p. Eso convierte al contraste en un instrumento raro: te devuelve un veredicto binario sobre una cuestión que es de grado, y el veredicto lo decide en buena parte una variable que no tiene nada que ver con la forma de tu distribución.

La pregunta que tú tienes es otra y es más concreta: «¿mi desviación de la normalidad es lo bastante grande como para estropear el análisis que quiero hacer?». Esa depende del tamaño de la desviación, del análisis, del N y del diseño, y no tiene una respuesta de sí o no. Es exactamente la pregunta que un valor p no puede contestar, y el motivo por el que en la literatura metodológica se lleva veinte años diciendo que estos contrastes no deberían usarse como criterio de decisión (aquí lo desmenuzo con más detalle).

La misma distribución, tres tamaños de muestra

Lo más rápido para ver el mecanismo es fabricar una población y sacar muestras de distintos tamaños. Simulé una variable con asimetría 0.40 y curtosis prácticamente cero: una campana ligeramente escorada a la derecha, del tipo que da una escala de malestar en población comunitaria, con media 20 y desviación típica 6. A ojo, en un histograma, nadie la llamaría anómala. Saqué de ahí una muestra de 40, otra de 200 y otra de 1000, y pasé Shapiro-Wilk a las tres.

Con N = 40 salió W = .969, p = .324, asimetría 0.41 y curtosis 0.00. Con N = 200, W = .986, p = .043, asimetría 0.40 y curtosis −0.03. Con N = 1000, W = .992, p < .001, asimetría 0.36 y curtosis 0.05. Fíjate en lo que ha hecho W, que es el estadístico que mide de verdad el desajuste: ha SUBIDO. W se comporta como una correlación entre tus datos ordenados y las puntuaciones normales que cabría esperar (esa correlación al cuadrado es literalmente el estadístico de la variante de Shapiro-Francia), así que cuanto más cerca de 1, mejor encaja la campana. Ha pasado de .969 a .992 mientras el valor p se hundía tres órdenes de magnitud. El indicador de ajuste dice que la muestra encaja mejor cada vez y el veredicto dice lo contrario.

No hay contradicción: lo que cambia es el listón contra el que se compara W. Para rechazar al .05, con N = 20 hace falta una W por debajo de .906; con N = 100, por debajo de .975; con N = 200, por debajo de .986; con N = 1000, por debajo de .997; con N = 2000, por debajo de .998. Una W de .99 es un rechazo rotundo en una muestra de mil personas y un aprobado holgado en una de cuarenta. El mismo número, el mismo ajuste, el veredicto opuesto.

Y esto no es cosa de una muestra con suerte. Repitiendo el sorteo veinte mil veces sobre esa misma población de asimetría 0.40, el contraste rechaza el 8.7% de las veces con N = 20, el 15.7% con N = 50, el 28.4% con N = 100, el 51.8% con N = 200, el 90.9% con N = 500 y el 99.8% con N = 1000. La población no se ha movido ni una décima en todo el recorrido. Si un revisor te pregunta si tus datos son normales, la respuesta honesta es «tan normales como cuando N era 200 y el mismo contraste decía que sí».

Con N pequeño no ve la desviación que sí importaría

El otro lado del problema se cuenta menos y es igual de grave. Coge unos tiempos de reacción de una tarea de decisión léxica, con la asimetría a la derecha que tienen siempre: en mi simulación, una lognormal con asimetría poblacional 2.26 y curtosis en exceso 10.27 (la curtosis que dan SPSS y R, con la normal en 0). Esto ya no es una campana torcida, es una distribución de manual de lo no normal. ¿Cuántas veces lo pilla Shapiro-Wilk? Con N = 10, el 32% de las veces. Con N = 15, el 50%. Con N = 20, el 65%. Con N = 30, el 84%. Es decir, con veinte participantes por condición, una de cada tres réplicas del mismo estudio pasa el filtro y se va tan tranquila.

Con la bimodalidad va todavía peor, y es el caso que de verdad debería preocuparte. Simulé una mezcla al 50% de dos subpoblaciones cuyas medias distan 2.8 desviaciones típicas: respondedores y no respondedores a un tratamiento, o dos centros con protocolos distintos metidos en el mismo fichero. Esa distribución tiene dos jorobas separadas, asimetría 0 y curtosis −0.88. Shapiro-Wilk la detecta el 9.8% de las veces con N = 20, el 14.8% con N = 30, el 27.6% con N = 50 y el 59.2% con N = 100. Cinco de cada seis muestras de treinta personas pasan el filtro con dos poblaciones distintas dentro.

Junta las dos mitades y sale un instrumento que funciona justo del revés de como lo necesitas. No tiene potencia donde la no normalidad sí tiene consecuencias (muestras pequeñas, donde el teorema central del límite todavía no ha arreglado nada) y tiene toda la potencia del mundo donde ya no las tiene (muestras grandes, donde sí lo ha hecho). Y la desviación que ignora casi siempre, dos subpoblaciones mezcladas, es precisamente la que te cambia las conclusiones, porque la media de una distribución bimodal no describe a nadie: cae en el valle entre los dos grupos, donde no hay participantes.

Hay un tercer problema, más sutil, con el propio gesto de encadenar un contraste con otro. Rasch, Kubinger y Moder (2011) y Zimmerman (2004) lo estudiaron a fondo: cuando eliges qué prueba aplicar en función de lo que te ha dicho un contraste preliminar sobre esos mismos datos, la tasa de error del procedimiento completo deja de ser la que crees tener, porque estás condicionando una decisión a un resultado aleatorio de la misma muestra. Una decisión fija tomada en el protocolo («usaremos Welch en todas las comparaciones») tiene mejores propiedades que una condicional tomada sobre la marcha.

Lo que sí hay que mirar: el gráfico, la asimetría y la curtosis

El gráfico Q-Q va primero, y conviene saber qué se le busca. Una curva en forma de S es asimetría. Los extremos que se despegan de la línea hacia arriba y hacia abajo son colas pesadas, con más valores extremos de los que tendría una normal. Un patrón en escalones significa que tienes pocos valores distintos, y no es un problema de normalidad sino de medida: un ítem Likert de cinco puntos o un conteo con muchos ceros. Un quiebro en mitad del recorrido, con dos tramos rectos que no se continúan, es la firma de dos subpoblaciones. El histograma, en cambio, cambia de forma según los intervalos que elija el programa y disimula justo donde suele estar el problema, que son las colas.

Después, la asimetría y la curtosis en bruto, sin convertirlas en nada. Las convenciones más usadas vienen de la literatura sobre modelos estructurales: Curran, West y Finch (1996) observaron que la estimación por máxima verosimilitud aguanta razonablemente hasta una asimetría de 2 y una curtosis de 7 en valor absoluto, y Kline (2016) maneja 3 y 10; una regla más conservadora, muy repetida en manuales, pone el listón en ±1. Son convenciones, no leyes: marcan el punto donde en aquellas simulaciones concretas empezaban a verse problemas, con unos análisis concretos, y fuera de ese contexto se citan con más fe de la que merecen.

Aquí va el aviso que se salta casi todo el mundo: no dividas la asimetría por su error típico para convertirla en una z y mirar si pasa de 1.96. Eso es reintroducir exactamente la misma enfermedad. El error típico de la asimetría vale aproximadamente EE = √(6/N), así que se encoge con la muestra: es 0.51 con N = 20, 0.24 con N = 100, 0.17 con N = 200, 0.077 con N = 1000 y 0.055 con N = 2000. Traducido: con dos mil personas, una asimetría de 0.11 ya sale «significativa», y una asimetría de 0.11 no le hace daño a nada. Lee el valor crudo y compáralo con las convenciones. Si quieres el atajo, en el intérprete de normalidad metes tus descriptivos y te dice dentro de qué convención caes y a qué análisis afecta.

Y el error más caro de todos: lo que se supone normal son los residuos, no la variable. En regresión, en ANOVA y en la t, el supuesto está sobre los errores del modelo. Un predictor puede estar todo lo escorado que quiera (edad, ingresos, años de evolución del trastorno) sin violar nada, porque de los predictores no se supone ninguna distribución. Peor aún: si tienes dos grupos con un efecto grande, la variable dependiente completa saldrá bimodal por construcción, porque la bimodalidad ES tu efecto, y desaparece en cuanto restas las medias de grupo. Pasar Shapiro-Wilk a la dependiente sin separar por grupo es señalar tu propio resultado como si fuera una violación de supuestos.

La t y el ANOVA aguantan más de lo que crees, y lo que sí los rompe

El supuesto de la t nunca fue que tus datos sean normales, sino que lo sea la distribución muestral de la media, y de eso se encarga el teorema central del límite en cuanto la muestra crece un poco. Los números lo dejan claro. Simulé la tasa de error tipo I de la t para muestras independientes usando la distribución de tiempos de reacción anterior, la de asimetría 2.26, con los dos grupos sacados de la misma población (así que cualquier resultado significativo es un falso positivo por definición). Con n = 15 por grupo salió el 4.50%. Con n = 30, el 4.67%. Con n = 50, el 4.83%. El nominal era el 5%, y fíjate en la dirección del desvío: la prueba se queda por debajo, nunca por encima, y se acerca al 5% según crece la muestra. La distribución que Shapiro-Wilk rechaza con p < .001 sin pestañear no vuelve mentirosa a la t; como mucho la vuelve un poco conservadora.

Para el ANOVA está hecho el trabajo en serio: Blanca y colaboradores (2017) trabajaron con distribuciones no normales tomadas de datos psicológicos reales, con las asimetrías y curtosis que de verdad aparecen en la literatura, y comprobaron que la F mantenía su tasa de error tipo I cerca del nominal en las condiciones que simularon. Boneau ya lo había mostrado para la t en 1960. La robustez tiene límites reales (asimetrías extremas con grupos diminutos y desiguales, y colas pesadas que te cuestan POTENCIA aunque no te cuesten tasa de error, que es lo que lleva años señalando Wilcox), pero un «p = .003 en Shapiro-Wilk con N = 400» no está ni cerca de esos límites.

Lo que sí rompe la t, y el contraste de normalidad no ve, son las varianzas desiguales cuando además los grupos tienen tamaños distintos. Los números, ahora con datos perfectamente normales: un grupo de 60 con desviación típica 1 contra uno de 20 con desviación típica 3 hace que la t de Student rechace una hipótesis nula verdadera el 20.49% de las veces en lugar del 5%. Intercambia los tamaños y se va al 0.35%: la prueba se vuelve tan conservadora que deja de encontrar nada. La t de Welch se queda en el 5.07% y el 4.95% respectivamente. Datos impecablemente normales, el contraste de normalidad aprobando con nota, y el análisis roto por debajo.

La conclusión práctica es corta: Welch por defecto, siempre, también con grupos iguales. En esa misma simulación, con 40 y 40 y esas mismas desviaciones típicas desiguales, Welch dio 5.02% y Student 5.29%; no cuesta nada y te cubre del único caso que de verdad hace daño (Delacre, Lakens y Leys, 2017). Y queda un supuesto que ningún contraste de normalidad ve tampoco: la independencia. Medidas repetidas tratadas como independientes, participantes anidados en aulas, terapeutas o centros, varios ensayos de la misma persona metidos como filas sueltas. Eso te destroza los errores típicos mucho más de lo que lo hará jamás una asimetría de 0.40, y no aparece en ninguna tabla de normalidad (lo desarrollo en cómo escribir resultados cuando los supuestos fallan).

Qué escribes en el manuscrito y qué haces si el problema es real

Empieza por la frase, porque es lo que te va a evitar el correo del revisor. Algo así: «La normalidad de los residuos se evaluó mediante inspección visual de gráficos Q-Q y de los índices de asimetría (0.41) y curtosis (−0.12), ambos dentro de los límites recomendados por Curran et al. (1996). No se utilizó el contraste de Shapiro-Wilk como criterio de decisión, dado que su potencia depende del tamaño muestral (N = 412) y detecta desviaciones sin consecuencias para el modelo estimado. Todas las comparaciones se realizaron con la prueba t de Welch». Ese párrafo hace tres cosas a la vez: dice qué miraste, dice qué decidiste y dice por qué, que es lo que separa una decisión metodológica de una omisión. Las reglas de formato de esos índices, con sus cursivas y sus decimales, las tienes en cómo reportar la normalidad en APA 7.

Si la desviación sí es grande (asimetría por encima de 2, colas gruesas, o una muestra pequeña con una violación visible en el Q-Q), entonces hay trabajo, y conviene hacerlo en orden. Welch ya lo tienes puesto. El siguiente escalón es el bootstrap: remuestrea 5000 veces y saca el intervalo de confianza percentil o BCa del efecto. No supone normalidad de nada, se reporta igual de bien y en la práctica es la respuesta más limpia a un revisor que duda de la distribución; lo que sí pide es una muestra que no sea diminuta, porque con quince casos remuestreas quince casos. El tercero son los métodos robustos: medias recortadas al 20% y la prueba de Yuen, que mantienen la tasa de error con colas pesadas y además recuperan la potencia que estabas perdiendo.

Y luego está la opción buena, la que casi nadie toma: modelar el proceso que generó los datos en lugar de forzarlo a parecer normal. Un conteo con muchos ceros (número de recaídas, de consultas, de atracones en el último mes) no es una variable normal que se ha torcido; es un conteo, y quiere una regresión de Poisson o binomial negativa. Un ítem Likert de cinco puntos es ordinal y quiere un modelo ordinal. Unos tiempos de reacción son lognormales o ex-gaussianos por construcción. Las transformaciones (logaritmo, raíz cuadrada) van al final de la lista precisamente porque cambian la hipótesis: la media de los logaritmos no es el logaritmo de la media, y tu conclusión pasa a hablar de una media geométrica que nadie de tu campo sabe interpretar.

Un último aviso, porque es el reflejo más común: Mann-Whitney no es el sustituto automático. No compara medias, y solo compara medianas si añades el supuesto de que las dos distribuciones tienen la misma forma. Sin ese supuesto, lo que contrasta es dominancia estocástica, la probabilidad de que una puntuación al azar de un grupo supere a una del otro. Es una hipótesis perfectamente legítima y a veces la que más te interesa, pero es OTRA, y además también se estropea cuando las varianzas difieren. Cambiar a ella «porque falló la normalidad» es cambiar la pregunta a mitad del análisis sin decírselo a nadie, empezando por ti.

Preguntas frecuentes

¿Puedo hacer la prueba t si Shapiro-Wilk me sale significativo?

En la inmensa mayoría de los casos, sí. El supuesto de la t es sobre la distribución muestral de la media, no sobre tus datos, y con muestras que no sean diminutas el teorema central del límite se encarga. En simulación, con una distribución de asimetría 2.26, mucho más torcida que cualquier cosa que Shapiro-Wilk te esté señalando con N = 300, la tasa de error tipo I de la t fue del 4.50% con 15 por grupo y del 4.83% con 50, contra un 5% nominal: por debajo, nunca por encima. Antes de cambiar de prueba, mira la asimetría, la curtosis y el Q-Q, y usa Welch.

¿Qué valores de asimetría y curtosis se consideran aceptables?

Las convenciones más citadas son |asimetría| < 2 y |curtosis| < 7 (Curran, West y Finch, 1996), y |asimetría| < 3 con |curtosis| < 10 en Kline (2016); una regla más estricta que aparece en muchos manuales pone ambas en ±1. Son convenciones surgidas de simulaciones concretas sobre análisis concretos, no umbrales universales: marcan dónde empezaron a verse problemas en aquel contexto. Úsalas como referencia declarada en el método, cita de dónde las sacas, y no las presentes como si fueran un requisito formal.

¿La normalidad se comprueba en la variable o en los residuos?

En los residuos. En regresión, ANOVA y prueba t el supuesto está sobre los errores del modelo, no sobre las variables observadas. Un predictor asimétrico no viola nada. Y hay un caso donde confundirlo sale caro: si tienes dos grupos con un efecto grande, la variable dependiente completa saldrá bimodal, porque esa bimodalidad es tu efecto; al separar por grupo o al mirar los residuos desaparece. Guarda los residuos del modelo que vas a estimar y examínalos a ellos.

¿Es mejor usar Kolmogorov-Smirnov o Anderson-Darling en su lugar?

No, porque el problema no es qué contraste eliges sino usar un contraste para esto. Los tres comparten la misma dependencia del tamaño de muestra: con N grande rechazan desviaciones triviales y con N pequeño no detectan casi nada. Kolmogorov-Smirnov además es especialmente flojo cuando estimas la media y la desviación típica de la propia muestra, que es lo que siempre haces, y necesita la corrección de Lilliefors para no ser directamente engañoso. Shapiro-Wilk suele ser el más potente de los tres en la mayoría de comparaciones, lo cual en este contexto es más un inconveniente que una ventaja.

Mi muestra es pequeña y Shapiro-Wilk no sale significativo, ¿ya está?

No, y este es el error simétrico del anterior. Con muestras pequeñas el contraste casi no ve nada: en simulación, una distribución con asimetría 2.26 se le escapa el 35% de las veces con N = 20 y el 50% con N = 15, y una mezcla clara de dos subpoblaciones pasa el filtro en el 85% de las muestras de 30. Un resultado no significativo con poca muestra no es evidencia de normalidad, es ausencia de potencia. Mira el Q-Q igualmente, y con N pequeño mírate además los casos extremos uno a uno.

¿Qué le respondo a un revisor que exige el contraste de normalidad?

Dale el dato y el argumento, no la negativa. Algo del estilo: «Se examinaron los residuos mediante gráficos Q-Q y los índices de asimetría (0.41) y curtosis (−0.12), dentro de los límites convencionales (Curran et al., 1996). Se optó por no basar la decisión en el contraste de Shapiro-Wilk porque su potencia depende del tamaño muestral y con N = 412 detecta desviaciones irrelevantes para el modelo; todas las comparaciones emplean la t de Welch, robusta a heterocedasticidad (Delacre et al., 2017)». Si insiste, reporta el contraste en una nota al pie y mantén el análisis: reportar no es lo mismo que decidir con él.

Quédate con el orden: primero el gráfico Q-Q, después la asimetría y la curtosis en bruto contra una convención que citas, y el contraste de normalidad en ningún punto de la cadena de decisión. Comprueba los residuos y no la variable, pon Welch por defecto y guarda la artillería (bootstrap, medias recortadas, modelos para conteos) para cuando la desviación sea de verdad grande. Si lo que tienes delante es un revisor que no se conforma con eso, o una variable que sospechas que pide otro modelo entero, eso lo vemos en mi consultoría estadística.